Quoique est une conjonction qui introduit une proposition subordonnée, qui s'écrit toujours en un seul mot. On peut remplacer "quoique" par "bien que" :
==> Il est encore très lucide quoiqu'il soit déjà très âgé.
Quoi que est une locution pronominale qui s'écrit toujours en deux mots et qui signifie "quelle que soit la chose que".
==> Quoi que je dise, personne ne veut m'écouter.
Attention donc :
==> Elle l'aimera toujours quoi qu'il fasse
==> Elle l'aimera toujours quoiqu'il l'ait trompée à plusieurs reprises.